А в теория множеств. Множеств теория. Брадобрей бреет только тех людей, которые не бреются сами. Бреет ли он себя

Определение 1. Множеством называется совокупность некоторых объектов, объединенных в одно целое по какому ‒ либо признаку.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами.

Обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A , B , …, X , Y , …, а их элементы обозначаются соответствующими прописными буквами: a, b , …, x, y .

Определение 1.1. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Ø.

Множество можно задать перечислением и описанием.

Пример:; .

Определение 1.2. Множеством A называется подмножеством B , если каждый элемент множества A является элементом множества B . Символически это обозначают так: AB (A содержится в B ).

Определение 1.3. Два множества A и B называются равными , если они состоят из одних и тех же элементов: (A =B ).

Операции над множествами.

Определение 1.4. Объединением или суммой множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств.

Объединение множеств обозначают AB (или A +B ). Кратко можно записать AB = .

AB = A +B

Если BA , то A +B=A

Определение 1.5. Пересечением или произведением множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству A и множеству B одновременно. Пересечение множеств обозначают AB (или A ·B ). Кратко можно записать:

AB =.

AB =A ·B

Если B A , то A · B= B

Определение 1.6. Разностью множеств A и B называется множество, каждый элемент которого является элементом множества A и не является элементом множества B . Разность множеств обозначают A \B . По определению A \B = .

A \B = A –B

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми .

Примерами числовых множеств являются:

N = - множество натуральных чисел.

Z = - множество целых чисел.

Q = - множество рациональных чисел.

R ‒ множество действительных чисел.

Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, ;… ‒ рациональные числа.

Иррациональное число выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Так, = 1,41421356...; = 3,14159265.... – иррациональное число.

K – множество комплексных чисел (вида Z =a + bi )

R K

Определение 1.7. Ɛ ‒ окрестностью точки x 0 называется симметричный интервал (x 0 – Ɛ; x 0 + Ɛ), содержащий точку x 0 .

В частности, если интервал (x 0 –Ɛ; x 0 +Ɛ), то выполнятся неравенство x 0 –Ɛ<x <x 0 +Ɛ, или, что то же, │x – x 0 │<Ɛ. Выполнение последнего означает попадание точки x в Ɛ – окрестность точки x 0 .

Пример 1:

(2 – 0,1; 2 + 0,1) или (1,9; 2,1) – Ɛ– окрестность.

│x – 2│< 0,1

–0,1<x – 2<0,1

2 –0,1<x < 2 + 0,1

1,9<x < 2,1

Пример 2:

A – множество делителей 24;

B – множество делителей 18.

История

Наивная теория множеств

Первый набросок теории множеств принадлежит Бернарду Больцано («Парадоксы бесконечного», 1850). В этой работе рассматриваются произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определено понятие взаимно-однозначного соответствия .

В 1870 году немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Этот подход изложен в двух его статьях, опубликованных в 1879-1897 годах в известном немецком журнале «Математические анналы» (нем. «Mathematische Annalen» ). Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» - который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано . При этом общему понятию «множества», рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre ).

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер , полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее - дело рук человеческих»). Полностью отвергли теорию множеств и такие авторитетные математики, как Герман Шварц и Анри Пуанкаре . Тем не менее, другие крупные математики - в частности, Готлоб Фреге , Рихард Дедекинд и Давид Гильберт - поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В частности, теория множеств стала фундаментом теории меры и интеграла , топологии и функционального анализа .

Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с бесконечными множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной (см. Кризис математических основ). А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий : оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний , может быть «доказано» абсолютно любое утверждение).

Аксиоматическая теория множеств

Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику лишённой всякого содержания игрой в символы. В частности, Н. Н. Лузин писал, что «мощность континуума, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность», место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признаётся ли в качестве аксиомы континуум-гипотеза , или же её отрицание.

В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC - теория Цермело - Френкеля с аксиомой выбора . Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более - о существовании модели для неё) остаётся нерешённым.

Не всеми математиками аксиома выбора принимается безоговорочно. Так, например Эмиль Борель и Анри Лебег считают, что доказательства, полученные при помощи этой аксиомы, имеют другую познавательную ценность, чем доказательства, независимые от неё. Другие же математики, такие как Феликс Хаусдорф и Адольф Френкель, принимают аксиому выбора безоговорочно, признавая за ней ту же степень очевидности, что и за другими аксиомами Цермело - Френкеля.

Основные понятия

В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение быть элементом множества (обозначается как - «x есть элемент множества A», «x принадлежит множеству A»). Среди производных понятий наиболее важны следующие:

пустое множество , обычно обозначается символом ;
семейство множеств;
операции:
Для множеств определены следующие бинарные отношения :
- править] Расширения
  Основная статья: Теория комплектов
  
  Теория комплектов - естественное расширение (обобщение) теории множеств. Подобно множеству, комплект - набор элементов из некоторой области. Отличие от множества: комплекты допускают присутствие нескольких экземпляров одного и того же элемента (элемент входит от нуль раз, то есть, не входит в комплект, до любого заданного числа раз) . (см. например, Мультисочетания).
  
  Приложения
  
  См. также
  
  Примечания
  
  Литература
  - К. Куратовский , А. Мостовский Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. - М .: Мир, 1970. - 416 с.
  - Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.
  - А. Френкель, И. Бар-Хиллел Основания теории множеств / Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией А. С. Есенина-Вольпина . - М .: Мир, 1966. - 556 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Математический анализ
Подмножество

Смотреть что такое "Теория множеств" в других словарях:

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ - ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ, раздел математики, начало которому было положено работами Джорджа БУЛЯ в области математической логики, но в настоящее время больше связанный с изучением МНОЖЕСТВ абстрактных или реальных объектов, а не с логическими… … Научно-технический энциклопедический словарь

теория множеств - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN set theory … Справочник технического переводчика

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ - теория, в к рой изучаются множества (классы) элементов произвольной природы. Созданная прежде всего трудами Кантора (а также Р. Дедекинда и К. Вейерштрасса), Т. м. к концу 19 в. стала основой построения сложившихся к тому времени математич.… … Философская энциклопедия

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ - раздел математики, исследующий общие свойства множеств. Множеством называется любое объединение в одно целое некоторых определенных и различных между собой объектов нашего восприятия или мысли. В Т. м. изучаются общие свойства различных операций… … Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

Теория множеств Кантора - … Википедия

Теория множеств Цермело-Френкеля - … Википедия

На математическом кружке вместе с учащимися рассматривался ряд задач, благодаря наглядности которых, процесс решения становится понятным и интересным. На первый взгляд им хочется составить систему уравнений, но в процессе решения остается много неизвестных, что ставит их в тупик. Для того, чтобы уметь решать эти задачи, необходимо предварительно рассмотреть некоторые теоретические разделы теории множеств.

Введем определение множества, а так же некоторые обозначения.

Под множеством мы будем понимать такой набор, группу, коллекцию элементов, обладающих каким-либо общим для них всех свойством или признаком.

Множества обозначим А, В, С…, а элементы множеств а, b, с…, используя латинский алфавит.

Можно сделать такую запись определения множества:

“” – принадлежит;
“=>“ – следовательно;
“ø” – пустое множество, т.е. не содержащее ни одного элемента.

Два множества будем называть равными, если они состоят из одних и тех же элементов

Например:

Если любой элемент из множества А принадлежит и множеству В, то говорят, что множество А включено в множество В, или множество А является подмножеством множества В, или А является частью В, т.е. если , то , где “С” знак подмножества или включения.

Графически это выглядит так (рис.1):

Можно дать другое определение равных множеств. Два множества называются равными, если они являются взаимными подмножествами.

Рассмотрим операции над множествами и их графическую иллюстрацию (рис.2).

Объединением множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Слова “или ” ключевое в понимании элементов входящих в объединение множеств.

Это определение можно записать с помощью обозначений:

А υ В, где

где “ υ ” – знак объединения,

“ / ” – заменяет слова ”таких что“

Пресечение двух множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. Здесь уже ключевое слово “и”. Запишем коротко:

А ∩ В = С, где

“∩“ – знак пересечения. (рис.3)

Обозначим буквой Е основное или универсальное множество, где A С Е (“”- любо число), т.е. А Е = Е; АЕ =А

Множество всех элементов универсального множества Е, не принадлежащих множеству А называется дополнением множества А до Е и обозначается ĀЕ или Ā (рис.4)

Примерами для понимания этих понятий являются свойства:

А Ā=Е Ø = Е Е Ā=Ā

А ∩ Ā= Ø Ē = Ø (Ā)=А

Свойства дополнения имеют свойства двойственности:

Введем еще одно понятие – это мощность множества.

Для конечного множества А через m (A) обозначим число элементов в множестве А.

Из определение следуют свойства:

m (A) + m (Ā) = m (E)

А = В => m(A) = m(B)

Для любых конечных множеств справедливы так же утверждения:

m (AB) =m (A) + m (В) – m (А∩В)

m (A∩B) = m (A) + m (В) – m (АВ)

m (ABC) = m (A) + m (В) + m (С)– m (А∩В) - m (А∩С) – m (В∩С) – m (А∩В∩С).

А теперь рассмотрим ряд задач, которые удобно решать, используя графическую иллюстрацию.

Задача №1

В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек.

По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека.

Сколько учащихся решили все задачи?
Сколько учащихся решили только две задачи?
Сколько учащихся решили только одну задачу?

Задача № 2

Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.

Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?

Задача № 3

В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом – 9 учеников.

Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта?

Решение задачи № 1

Запишем коротко условие и покажем решение:

m (Е) = 40
m (А) = 20
m (В) = 18
m (С) = 18
m (А∩В) = 7
m (А∩С) = 8
m (В∩С) = 9

m (АВС) = 3 => m (АВС) = 40 – 3 = 37

Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С (рис.5).

К1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре;

К2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии;

К3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии;

К4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии;

К5 – множество всех учеников, решивших все три задачи;

К6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии;

К7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии;

К8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи.

Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить вычисления:

Ответ:

5 учеников решили три задачи;

9 учеников решили только по две задачи;

23 ученика решили только по одной задаче.

С помощью этого метода можно записать решения второй и третьей задачи так:

Решение задачи № 2

Найти m (К1 ) + m (К3 ) + m (К7 )

Ответ:

Только одну контрольную работу решили 18 учеников.

Решение задачи № 3

m (Е) = 35
m (А∩В∩С)= m (К5 ) = 6
m (А∩В)= 15
m (А∩С)= 13
m (В∩С)= 9

Найти m (К1) + m (К3) + m (К7 )

m (К2 ) = m (А∩В) - m (К5 ) = 15-6=9
m (К4 ) = m (А∩С) - m (К5 ) = 13-6=7
m (К6 ) = m (В∩С) - m (К5 ) = 9-6=3
m (К1 ) + m (К3 ) + m (К7 ) = m (Е) - m (К4 ) - m (К2 ) - m (К6 ) - m (К5 ) = 35-7-9-3-6=10

Ответ:

Только одним видом транспорта пользуется 10 учеников.

Литература: А.Х. Шахмейстер «Множества. Функции. Последовательности»

Не помню, когда я впервые узнал про топологию, но меня эта наука сразу заинтересовала. Чайник превращается в бублик, сфера выворачивается наизнанку. Многие слышали про это. Но у тех, кто хочет углубиться в эту тему на более серьёзном уровне, часто возникают трудности. Особенно это относится к освоению самых начальных понятий, которые по своей сути очень абстрактны. Более того, многие источники, как будто специально стремятся запутать читателя. Скажем русская вики даёт весьма туманную формулировку того, чем занимается топология. Там говорится, что это наука изучающая топологические пространства . В статье про топологические пространства читатель может узнать, что топологические пространства - это пространства снабжённые топологией . Такие объяснения в стиле лемовских сепулек не очень проясняют суть предмета. Я попробую далее изложить основные базовые понятия в более ясной форме. В моей заметке не будет превращающихся чайников и бубликов, но будут сделаны первые шаги, которые позволят в конце концов научиться этой магии.

Впрочем, так как я не математик, а стопроцентный гуманитарий, то вполне возможно, что написанное ниже - враньё! Ну, или по крайней мере часть.

Впервые я написал эту заметку, как начало цикла статей о топологии, для своих гуманитарных друзей, но никто из них читать ее не стал. Исправленную и расширенную версию я решил выложить на хабр. Мне показалось, что здесь существует определенный интерес к этой теме и статей как раз такого рода еще не было. Заранее благодарен за все комментарии об ошибках и неточностях. Предупреждаю, что я использую много картинок.

Начнем с краткого повторения теории множеств. Думаю, большинство читателей хорошо с ней знакомы, но тем не менее напомню основы.

Итак, считается, что определения у множества нет и, что мы интуитивно понимаем, что это такое. Кантор говорил так: «Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M)». Конечно, это просто иносказательное описание, а не математическое определение.
Теория множеств известна (прошу простить за каламбур) множеством удивительных парадоксов. Например . С ней также связан кризис математики в начале XX-го века.

Теория множеств существует в нескольких вариантах, таких как ZFC или NBG и других. Вариантом теории являетсятеория типов , которая весьма важна для программистов. Наконец, некоторые математики предлагает вместо теории множеств в качестве фундамента математики использовать теорию категорий, о которой много написано на Хабре. Теория типов и теория множеств описывают математические объекты как бы «изнутри», а теория категорий не интересуется их внутренним строением, а только как они взаимодействуют, т.е. даёт их «внешнюю» характеристику.
Для нас важны только самые начальные основы теории множеств.

Множества бывают конечными.

Бывают бесконечными. Например, множество целых чисел, которое обозначается буквой ℤ (или просто Z, если у вас на клавиатуре нет фигурных букв).

Наконец, есть пустое множество. Оно ровно одно во всей Вселенной. Имеется простое доказательство этого факта, но я не буду его здесь приводить.

Если множество бесконечно, оно бывает счетным . Счетные - те множества, элементы которых можно перенумеровать натуральными числами. Само множество натуральных чисел, как вы догадались, тоже счетно. А вот как можно пронумеровать целые числа.

С рациональными числами сложнее, но и они поддаются нумерации. Этот способ называется диагональным процессом и выглядит, как на картинке внизу.

Мы зигзагом движемся по рациональным числам, начиная с 1. При этом каждому числу, которое у нас получается, присваиваем четный номер. Отрицательные рациональные числа считаются тем же способом, только номера нечетные, начиная с 3. Ноль традиционно получает первый номер. Таким образом видно, что все рациональные числа можно пронумеровать. Все числа вроде 4,87592692976340586068 или 1,00000000000001, или -9092, или даже 42 получают свой номер в этой таблице. Тем не менее, сюда попадают не все числа. Например, √2 не получит номера. Когда-то это очень огорчило греков. Говорят, того парня, который открыл иррациональные числа, утопили.

Обобщением понятия размера для множеств является мощность . Мощность конечных множеств равна числу их элементов. Мощность бесконечных множеств обозначается еврейской буквой алеф с индексом. Самая маленькая бесконечная мощность-это мощность ℵ 0 . Она равна мощности счетных множеств. Как видим, таким образом, натуральных чисел, так же много, как и целых или рациональных. Странно, но факт. Следующая - мощность континуума . Она обозначается маленькой готической буквой с. Это мощность множества вещественных чисел ℝ, например. Существует гипотеза о том, что мощность континуума равна мощности ℵ 1 . Т.е., что это следующая после мощности счетных множеств мощность, и нет никакой промежуточной мощности между счетными множествами и континуумом.

Над множествами можно проводить различные операции и получать новые множества.

1. Множества можно объединять.

3. Можно искать пересечение множеств.

Собственно это все о множествах, что нужно знать для целей этой заметки. Теперь мы можем приступить к самой топологии.
Топология - это наука, которая изучает множества с определенной структурой. Эта структура также называется топологией.
Пусть у нас есть некоторое непустое множество S.
Пусть же у этого множества будет некоторая структура, которая описывается с помощью множества, которое мы назовем Т. Т представляет собой множество подмножеств множества S такое, что:

1. Само S и ∅ принадлежат T.
2. Любое объединение произвольных семейств элементов T принадлежит T.
3. Пересечение произвольного конечного семейства элементов T принадлежит T.

Если эти три пункта выполняются, то наша структура является топологией T на множестве S. Элементы множества T называются открытыми множествами на S в топологии T. Дополнением к открытым множествам являются замкнутые множества. Важно отметить, что если множество открыто, это еще не означает, что оно не замкнуто и наоборот. Кроме того в данном множестве относительно некоторой топологии могут быть подмножества, которые не являются ни открытыми, ни замкнутыми.

Приведем пример. Пусть у нас есть множество, состоящее из трех цветных треугольников.

Самая простая топология на нем называется антидискретной топологией . Вот она.

Эту топологию, также называют топологией слипшихся точек . Она состоит из самого множества и из пустого множества. Это действительно удовлетворяет аксиомам топологии.

На одном множестве можно задать несколько топологий. Вот еще одна очень примитивная топология, которая бывает. Она называется дискретной. Это топология, которая состоит из всех подмножеств данного множества.

А вот еще топология. Она задана на множестве из 7 разноцветных звезд S, которые я обозначил буквами. Убедитесь, что это топология. Я в этом не уверен, вдруг я пропустил, какое-то объединение или пересечение. На этой картинке должно быть само множество S, пустое множество, пересечения и объединения всех остальных элементов топологии также должны быть на картинке.

Пара из топологии и множества на котором она задана называется топологическим пространством .

Если в множестве много точек (не говоря уже о том, что их может быть бесконечно много), то перечислить все открытые множества может быть проблематично. Например, для дискретной топологии на множестве из трех элементов, надо составить список из 8 множеств. А для 4-элементного множества дискретная топология будет насчитывать уже 16, для 5 - 32, для 6 -64 и так далее. Для того, чтобы не перечислять все открытые множества используется как бы сокращенная запись - выписываются те элементы, объединения которых могут дать, все открытые множества. Это называется базой топологии. Например, для дискретной топологии пространства из трех треугольников - это будут три треугольника взятые в отдельности, потому, что объединяя их, можно получить все остальные открытые множества в данной топологии. Говорят, что база генерирует топологию. Множества, элементы которого генерируют базу, называют предбазой.

Ниже пример базы для дискретной топологии на множестве из пяти звезд. Как видите, в данном случае база состоит всего из пяти элементов, в то время как в топологии целых 32 подмножества. Согласитесь, использовать базу для описания топологии - гораздо удобнее.

Для чего нужны открытые множества? В каком-то смысле они дают представление о «близости» между точками и о различии между ними. Если точки принадлежат двум разным открытым множествам или если одна точка находится в открытом множестве, в котором не находится вторая, то они топологически различаются. В антидискретной топологии все точки в этом смысле неразличимы, они как бы слиплись. Наоборот, в дискретной топологии все точки имеют различие.

С понятием открытого множества неразрывно связано понятие окрестности . Некоторые авторы дают определение топологии не через открытые множества, а через окрестности. Окрестность точки p - это множество, которое содержит открытый шар с центром в этой точке. Например, на рисунке ниже показаны окрестности и не окрестности точек. Множество S 1 является окрестностью точки p, а множество S 2 нет.

Связь между открытым множеством и октестностью можно сформулировать так. Открытое множество - такое множество, каждый элемент которого имеет некоторую окрестность, лежащую в данном множестве. Или наоборот можно сказать, что множество открыто, если оно является окрестностью любой своей точки.

Все это самые базовые понятия топологии. Отсюда еще не ясно как выворачивать сферы наизнанку. Возможно в будущем, я смогу добраться и до такого рода тем (если сам разберусь).

UPD. Из-за неаккуратности моей речи, возникло некоторое недоумение относительно мощностей множеств. Я несколько исправил свой текст и здесь хочу дать пояснение. Кантор, создавая свою теорию множеств, ввел понятие мощности, которое позволяло сравнивать бесконечные множества. Кантор установил, что мощности счетных множеств (например, рациональных чисел) и континуума (например, вещественных чисел) различны. Он предположил, что мощность континуума является следующей после мощности счетных множеств т.е. равна алеф-один. Кантор пытался доказать эту гипотезу, но безуспешно. Позже стало ясно, что эту гипотезу нельзя ни опровергнуть, ни доказать.

Лекция 12: Основные понятия теории множеств

Рассмотрение системы как совокупности элементов дает возможность привлечь для ее математического описания аппарат теории множеств. При этом в ряде важных случаев связи между элементами удобно описываются с помощью аппарата математической логики.

Понятие множества — является одним из тех фундаментальных понятий математики, которым трудно дать точное определение, используя элементарные понятия. Поэтому ограничимся описательным объяснением понятия множества.

Множеством называется совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое. Создатель теории множеств Георг Кантор давал следующее определение множества — «множество есть многое, мыслимое нами как целое».

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Множества принято обозначать большими буквами латинского алфавита, а элементы этих множеств — маленькими буквами латинского алфавита. Множества записываются в фигурных скобках { }.

Принято использовать следующие обозначения:

a ∈ X — «элемент a принадлежит множеству X»;
a ∉ X — «элемент a не принадлежит множеству X»;
∀ — квантор произвольности, общности, обозначающий «любой», «какой бы не был», «для всех»;
∃ — квантор существования: ∃y ∈ B — «существует (найдется) элемент y из множества B»;
∃! — квантор существования и единственности: ∃!b ∈ C — «существует единственный элемент b из множества C»;
: — «такой, что; обладающий свойством»;
→ — символ следствия, означает «влечет за собой»;
⇔ — квантор эквивалентности, равносильности — «тогда и только тогда».

Множества бывают конечные и бесконечные . Множества называются конечным , если число его элементов конечно, т.е. если существует натуральное число n, являющееся числом элементов множества. А={a 1 , a 2 ,a 3 , ..., a n }. Множество называется бесконечным , если оно содержит бесконечное число элементов. B={b 1 ,b 2 ,b 3 , ...}. Например, множество букв русского алфавита — конечное множество. Множество натуральных чисел — бесконечное множество.

Число элементов в конечном множестве M называется мощностью множества M и обозначается |M|. Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента — ∅. Два множества называются равными , если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. представляют собой одно и тоже множество. Множества не равны X ≠ Y, если в Х есть элементы, не принадлежащие Y, или в Y есть элементы, не принадлежащие Х. Символ равенства множеств обладает свойствами:

Х=Х; — рефлексивность
если Х=Y, Y=X — симметричность
если X=Y,Y=Z, то X=Z — транзитивность.

Согласно такого определения равенства множеств мы естественно получаем, что все пустые множества равны между собой или что то же самое, что существует только одно пустое множество.

Подмножества. Отношение включения.

Множество Х является подмножеством множества Y, если любой элемент множества Х ∈ и множеству Y. Обозначается X⊆Y.

Если необходимо подчеркнуть, что Y содержит и другие элементы, кроме элементов из Х, то используют символ строгого включения ⊂: X⊂Y. Связь между символами ⊂ и ⊆ дается выражением:

X⊂Y ⇔ X⊆Y и X≠Y

Отметим некоторые свойства подмножества, вытекающие из определения:

X⊆Х (рефлексивность);
→ X⊆Z (транзитивность);
∅ ⊆ M. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Исходное множество А по отношению к его подмножествам называется полным множеством и обозначается I.

Любое подмножество А i множества А называется собственным множеством А.

Множество, состоящие из всех подмножеств данного множества Х и пустого множества ∅, называется булеаном Х и обозначается β(Х). Мощность булеана |β(Х)|=2 n .

Счетное множество — это такое множество А, все элементы которого могут быть занумерованы в последовательность (м.б. бесконечную) а 1 , а 2 , а 3 , ..., а n , ... так, чтобы при этом каждый элемент получил ишь один номер n и каждое натуральное число n было бы в качестве номера дано одному и лишь одному элементу нашего множества.

Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством.

Пример. Множество квадратов целых чисел 1, 4, 9, ..., n 2 представляет собой лишь подмножество множества натуральных чисел N. Множество является счетным, так как приводится во взаимно однозначные соответствия с натуральным рядом путем приписывания каждому элементу номера того числа натурального ряда, квадратом которого он является.

Существует 2 основных способа задания множеств.

перечислением (X={a,b}, Y={1}, Z={1,2,...,8}, M={m 1 ,m 2 ,m 3 ,..,m n });
описанием — указывается характерное свойства, которым обладают все элементы множества.

Множество полностью определено своими элементами.

Перечислением можно задать только конечные множества (например, множество месяцев в году). Бесконечные множества можно задать только описанием свойств его элементов (например, множество рациональных чисел можно задать описанием Q={n/m, m, n∈Z, m≠0}.

Способы задания множества описанием:

а) заданием порождающей процедуры с указанием множества (множеств), которое пробегает параметр (параметры) этой процедуры — рекурсивный, индуктивный.

X={x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1 , k=1,2,3,...} — мн-во чисел Фибониччи.

{мн-во элементов х, таких, что х 1 =1,х 2 =1 и произвольное х k+1 (при к=1,2,3,...) вычисляется по формуле х k+2 =х k +х k+1 } или Х=}